離散數學-代數系統-群

author: o-jules

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這是關於離散數學的相關筆記，本篇介紹代數系統中的群

群

設 G 是定義了二元運算（用並置表示）的非空集合，如果G滿足下列的公理：

• 結合律 對任何元素 $a，b，c \in G$，有$ (ab)c = a(bc)$
• 單位元 存在元素 $e \in G$，使得對於$G$中任一個元素$a$，有$ ae = ea = a$
• 逆元 對每個元素 $a \in G$，存在一個元素 $a^-1 \in G$（$a$的逆元），使得 $aa^-1 = a^-1 a = e$

則稱 $G$ 為群。

若群 $G$ 滿足交換律，即對任意的 $a，b \in G$，有 $ab = ba$，則稱 $G$ 為阿貝爾群（或 交換群）。

當二元運算如上並置定義時，稱 $G$ 為乘法群；當 $G$ 是阿貝爾群時，運算記為 $+$，稱 $G$ 為加法群。 此時單位元記為$0$，稱為零元素，逆元記為$-a$，稱為負元素。

群 $G$ 中元素的個數記為 $|G|$，稱為 $G$ 的階。若其階是有限的，稱$G$為有限群。

如果 $A$ 和 $B$ 是 $G$ 的子集，則記： \(AB = {ab: a\in A, b\in B} 或 A + B = {a + b: a\in A, b\in B}\)

對稱群 $S_n$

從集合$ {1, 2, 3, …, n}$ 到自身的 $1-1$映射 稱為置換，記為： \(\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ j_1 & j_2 & j_3 & \cdots & j_n \end{pmatrix}\) 其中，$j_i = \sigma(i)$。

所有置換的集合記為 $S_n$，共有 $n!$ 個元素（$P(n, n) = \frac{n!}{(n - n)!} = n!$）。 S_n 中置換的 覆合** 和 逆 均在 $S_n$ 中，並且單位函數 $\epsilon$ 也在 $S_n$ 中，這樣 $S_n$ 在函數覆合運算下構成群，我們稱之為 n階對稱群。

$MAP(A), PERM(A) 和 AUT(A)$

設 $A$ 是一非空集合，所有的函數（映射）$f: A \to$ 組成的集合 $MAP(A)$ 在函數的覆合下是半群，但它是不是群，因為有些函數沒有逆元。 但是，所有的 $A$ 到自身的 $1-1$ 映射（稱為“置換”）組成的 $MAP(A)$ 的子半群 $PERM(A)$ 在函數的覆合下構成群。

設 $A$ 含有某些幾何和代數結構，那麽所有 $A$ 到自身的同構映射（稱為 $A$ 的自同態）所組成的集合 $AUT(A)$ 在函數的覆合下也構成群。

子群，正規子群和同態

設 $H$ 是 群$G$ 的一個子集，如果在 $G$ 的運算下 $H$ 本身也是群，那麽 $H$ 稱為 $G$ 的子群。

性質 群 $G$ 的子集 $H$ 是 $G$ 的子群，如果：

1. 單位元 $e \in H$
2. 在 $G$ 的運算下 $H$ 封閉，即如果 $a, b \in H$，那麽 $a * b \in H$
3. $H$ 對逆元封閉，即如果 $a \in H$，那麽 $a_{-1} \in H$

每個群 $G$ 都以 ${e}$ 和 $G$ 自身為其子群，$G$ 的其他子群都稱為 非平凡子群。

陪集

如果 $H$ 是 $G$ 的子群，且 $a \in G$，那麽集合： \(Ha = {ha: h \in H}\)

稱為 $H$ 的右陪集。 類似的， $aH$ 稱為 $H$ 的左陪集。

定理 設 $H$ 是群 $G$ 的子群，那麽右陪集 $Ha$ 構成一個 $G$ 的劃分。 定理（拉格朗日） 設 $H$ 是有限群 $G$ 的子群，則 $H$ 的階整除 $G$ 的階。 定理 $G$ 中 $H$ 的右陪集的數目（稱為 $H$ 在 $G$ 中的指標）等於 $G$ 中 $H$ 的左陪集的數目，且兩者都等於 $|G|$ 除以 $|H|$。

正規子群

如果 $G$ 的一個子群 $H$，對於任意 $a \in G$，有 $a^{-1} Ha \subseteq H$，那麽 $H$ 稱為正規子群。 等價地，$H$ 是正規的，如果對於每個 $a \in G$，有 $aH = Ha$，即左陪集和右陪集相等。

阿貝爾群的每個子群都是正規的。

定理 設 $H$ 是群 $G$ 的一個正規子群，那麽 $H$ 的陪集在陪集乘法 \((aH)(bH) = abH\) 下構成群。稱為商群，記作 $G/H$。

設 $G$ 中的運算是加法或者說 $G$ 是加法式的，那麽 $G$ 的子群 $H$ 的陪集形如 $a + H$，而且，如果 $H$ 是 $G$ 的正規子集，那麽 $H$ 的陪集在： \((a + H) + (b + H) = (a + b) + H\) 下形成群。