author: o-jules

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這是關於離散數學的相關筆記，本篇介紹代數系統

代數系統

運算

設 $S$ 是一個非空集合，集合 $S$ 上的一個運算是 $S\times S$ 到 $S$ 的一個函數 $*$，通常記：

$a * b, ab$

而不記為 $(a, b)$。 集合 $S$ 和 $S$ 上的一個運算 $$ 記為 $(S, *)$ 或當運算明確時簡記為 $S$。

注 一個從 $S\times S$ 到 S 上的運算 * 有時稱為 二元運算。一元運算是從 $S$ 到 $S$ 的函數。

運算的性質

結合律

對於集合 $S$ 上的運算 $*$， 如果 $S$ 中的任意元素 $a，b，c$，有： \((a * b) * c = a * (b * c)\) 則稱為可結合的或滿足結合律。

一般地，如果一個運算不是可結合的，則可有許多方法構成一個積。

定理 設 * 是集合 $S$ 上的一個可結合的運算，那麽任何積 $a_1 * a_2 * …… * a_n$ 無須加括號。也就是說所有可能的積都相等。

交換律

集合 $S$ 上的運算 $*$ 稱為可交換的，或滿足交換律，如果對於$S$中任意元素 $a，b$ 有： \(a * b = b * a\)

單位元 和 逆元

如果存在 $S$ 中的元素 $e$，對於 $S$ 中的任意元素$a$，有： \(a * e = e * a = a\) 被稱為 $*$ 的單位元。

更一般的，對於 $S$ 中的任意元素$a$，如果 $e * a = a$，則 $e$ 稱為左單位元；如果 $a * e = a$，則 $e$ 稱為右單位元。

定理 設 $e$ 是左單位元，$f$ 是右單位元，那麽 $e = f$。 （即，單位元是唯一的）

逆元 設集合 $S$ 上的運算 $*$ 有 單位元，那麽 $S$ 中元素 $a$ 的逆元 是元素$b$，滿足： \(a * b = b * a = e\)

如果運算是可結合的，那麽 $a$ 的逆元若存在則唯一。 顯然，如果 $b$ 是 $a$ 的逆元，$a$ 也是 $b$ 的逆元，因此逆元是一個對稱關系。我們也可以說 $a$ 和 $b$ 互逆。

注 如果 $S$ 上的運算記成 $a * b，a\times b, a\dot b$ 或 ab，則稱 $S$ 為乘法式結構，$S$ 中元素 $a$ 的逆記為 $a^-1$。 如果運算記為 $+$，則稱 $S$ 為加法式結構。在這種情況下，單位元通常記為 $0$，稱之為零元素。$a$ 的逆元記為 $-a$，且稱為$a$的負元素。

消去律

對於集合 $S$ 上的運算 $*$，如果有： \(a * b = a * c \implies b = c\) 稱 $S$ 滿足左消去律。 如果有： \(b * a = c * a \implies b = c\) 稱 $S$ 滿足右消去律。