author: zlotus

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這是MIT 18.06 Linear-Algebra 的學習筆記

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第十八講：行列式及其性質

本講我們討論出行列式（determinant）的性質：

1. $\det{I}=1$，單位矩陣行列式值為一。

2. 交換列行列式變號。

   在給出第三個性質之前，先由前兩個性質可知，對置換矩陣有\(\det P=\begin{cases}1\quad &even\\-1\quad &odd\end{cases}\)。

   舉例：\(\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}=1,\quad\begin{vmatrix}0&1\\1&0\end{vmatrix}=-1\)，於是我們猜想，對於二階方陣，行列式的計算公式為\(\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc\)。

3. a. \(\begin{vmatrix}ta&tb\\tc&td\end{vmatrix}=t\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}\)。

   b. \(\begin{vmatrix}a+a'&b+b'\\c&d\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a'&b'\\c&d\end{vmatrix}\)。

   注意：這里並不是指$\det (A+B)=\det A+\det B$，方陣相加會使每一列相加，這里僅是針對某一列的線性變換。

4. 如果兩列相等，則行列式為零。使用性質2交換兩行易證。

5. 從第$k$列中減去第$i$列的$l$倍，行列式不變。這條性質是針對消元的，我們可以先消元，將方陣變為上三角形式後再計算行列式。

   舉例：\(\begin{vmatrix}a&b\\c-la&d-lb\end{vmatrix}\stackrel{3.b}{=}\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a&b\\-la&-lb\end{vmatrix}\stackrel{3.a}{=}\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}-l\begin{vmatrix}a&b\\a&b\end{vmatrix}\stackrel{4}{=}\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}\)

6. 如果方陣的某一行為零，則其行列式值為零。使用性質3.a對為零行乘以不為零系數$l$，使$l\det A=\det A$即可證明；或使用性質5將某列加到為零列，使存在兩列相等後使用性質4即可證明。

7. 有上三角行列式\(U=\begin{vmatrix}d_{1}&*&\cdots&*\\0&d_{2}&\cdots&*\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&d_{n}\end{vmatrix}$，則$\det U=d_1d_2\cdots d_n\)。使用性質5，從最後一行開始，將對角元素上方的$*$元素依次變為零，可以得到型為\(D=\begin{vmatrix}d_{1}&0&\cdots&0\\0&d_{2}&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&d_{n}\end{vmatrix}\)的對角行列式，再使用性質3將對角元素提出得到\(d_nd_{n-1}\cdots d_1\begin{vmatrix}1&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&1\end{vmatrix}\)，得證。

8. 當矩陣$A$為奇異矩陣時，$\det A=0$；當且僅當$A$可逆時，有$\det A\neq0$。如果矩陣可逆，則化簡為上三角形式後各行都含有主元，行列式即為主元乘積；如果矩陣奇異，則化簡為上三角形式時會出現全零列，行列式為零。

   再回顧二階情況：\(\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}\xrightarrow{消元}\begin{vmatrix}a&b\\0&d-\frac{c}{a}b\end{vmatrix}=ad-bc\)，前面的猜想得到證實。

9. $\det AB=(\det A)(\det B)$。使用這一性質，$\det I=\det{A^{-1}A}=\det A^{-1}\det A$，所以$\det A^{-1}=\frac{1}{\det A}$。

   同時還可以得到：$\det A^2=(\det A)^2$，以及$\det 2A=2^n\det A$，這個式子就像是求體積，對三維物體有每邊翻倍則體積變為原來的八倍。

10. $\det A^T=\det A$，前面一直在關注列的屬性給行列式帶來的變化，有了這條性質，列的屬性同樣適用於行，比如對性質2就有“交換行行列式變號”。

    證明：$\left|A^T\right|=\left|A\right|\rightarrow\left|U^TL^T\right|=\left|LU\right|\rightarrow\left|U^T\right|\left|L^T\right|=\left|L\right|\left|U\right|$，值得注意的是，$L, U$的行列式並不因為轉置而改變，得證。