author: zlotus

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這是MIT 18.06 Linear-Algebra 的學習筆記

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第八講：求解$Ax=b$：可解性和解的結構

舉例，同上一講：$3 \times 4$矩陣 \(A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2\\ 2 & 4 & 6 & 8\\ 3 & 6 & 8 & 10\\ \end{bmatrix}\)，求$Ax=b$的特解：

寫出其增廣矩陣（augmented matrix）$\left[\begin{array}{c|c}A & b\end{array}\right]$：

顯然，有解的必要條件為$b_3-b_2-b_1=0$。

討論$b$滿足什麽條件才能讓方程$Ax=b$有解（solvability condition on b）：當且僅當$b$屬於$A$的行空間時。另一種描述：如果$A$的各列線性組合得到$0$列，則$b$端分量做同樣的線性組合，結果也為$0$時，方程才有解。

解法：令所有自由變量取$0$，則有 \(\Big\lbrace \begin{eqnarray*} x_1 & + & 2x_3 & = & 1 \\ & & 2x_3 & = & 3 \\ \end{eqnarray*}\) ，解得 \(\Big\lbrace \begin{eqnarray*} x_1 & = & -2 \\ x_3 & = & \frac{3}{2} \\ \end{eqnarray*}\) ，代入$Ax=b$求得特解 \(x_p= \begin{bmatrix} -2 \\\\ 0 \\\\ \frac{3}{2} \\\\ 0 \end{bmatrix}\)。

令$Ax=b$成立的所有解： \(\Big\lbrace \begin{eqnarray} A & x_p & = & b \\ A & x_n & = & 0 \\ \end{eqnarray} \quad \underrightarrow{兩式相加} \quad A(x_p+x_n)=b\)

即$Ax=b$的解集為其特解加上零空間，對本例有： \(x_{complete}= \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ \frac{3}{2} \\ 0 \end{bmatrix} + c_1\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\0\\\end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix}2\\0\\-2\\1\\\end{bmatrix}\)

對於$m \times n$矩陣$A$，有矩陣$A$的秩$r \leq min(m, n)$

列滿秩$r=n$情況： \(A= \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \\ 6 & 1 \\ 5 & 1 \\ \end{bmatrix}\) ，$rank(A)=2$，要使$Ax=b, b \neq 0$有非零解，$b$必須取$A$中各行的線性組合，此時A的零空間中只有$0$向量。

行滿秩$r=m$情況： \(A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 6 & 5 \\ 3 & 1 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix}\) ，$rank(A)=2$，$\forall b \in R^m都有x \neq 0的解$，因為此時$A$的行空間為$R^m$，$b \in R^m$恒成立，組成$A$的零空間的自由變量有n-r個。

行列滿秩情況：$r=m=n$，如 \(A= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix}\) ，則$A$最終可以化簡為$R=I$，其零空間只包含$0$向量。

總結：