author: zlotus

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這是MIT 18.06 Linear-Algebra 的學習筆記

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第七講：求解$Ax=0$，主變量，特解

舉例：$3 \times 4$矩陣 \(A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 3 & 6 & 8 & 10 \\ \end{bmatrix}\)，求$Ax=0$的特解：

找出主變量（pivot variable）： \(A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2\\ 2 & 4 & 6 & 8\\ 3 & 6 & 8 & 10\\ \end{bmatrix} \underrightarrow{消元} \begin{bmatrix} \underline{1} & 2 & 2 & 2\\ 0 & 0 & \underline{2} & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} =U\) 主變量（pivot variable，下劃線元素）的個數為2，即矩陣$A$的秩（rank）為2，即$r=2$。

主變量所在的行為主行（pivot column），其余列為自由行（free column）。

自由行中的變量為自由變量（free variable），自由變量的個數為$n-r=4-2=2$。

通常，給自由行變量賦值，去求主行變量的值。如，令$x_2=1, x_4=0$求得特解 $x=c_1\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\0\\\end{bmatrix}$； 再令$x_2=0, x_4=1$求得特解 $x=c_2\begin{bmatrix}2\\0\\-2\\1\\\end{bmatrix}$。

該例還能進一步簡化，即將$U$矩陣化簡為$R$矩陣（Reduced row echelon form），即簡化列階梯形式。

在簡化列階梯形式中，主元上下的元素都是$0$： \(U= \begin{bmatrix} \underline{1} & 2 & 2 & 2\\ 0 & 0 & \underline{2} & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} \underrightarrow{化簡} \begin{bmatrix} \underline{1} & 2 & 0 & -2\\ 0 & 0 & \underline{1} & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} =R\) 將$R$矩陣中的主變量放在一起，自由變量放在一起（行交換），得到 \(R= \begin{bmatrix} \underline{1} & 2 & 0 & -2\\ 0 & 0 & \underline{1} & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} \underrightarrow{行交換} \left[ \begin{array}{c c | c c} 1 & 0 & 2 & -2\\ 0 & 1 & 0 & 2\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{array} \right] = \begin{bmatrix} I & F \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \textrm{，其中}I\textrm{為單位矩陣，}F\textrm{為自由變量組成的矩陣}\) 計算零空間矩陣$N$（nullspace matrix），其列為特解，有$RN=0$。

在本例中 \(N= \begin{bmatrix} -2 & 2 \\ 0 & -2 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\)，與上面求得的兩個$x$特解一致。

另一個例子，矩陣 \(A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 2 & 6 & 8 \\ 2 & 8 & 10 \\ \end{bmatrix} \underrightarrow{消元} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \underrightarrow{化簡} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} =R\)

矩陣的秩仍為$r=2$，有$2$個主變量，$1$個自由變量。

同上一例，取自由變量為$x_3=1$，求得特解 \(x=c \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}\)